数学分析 Mathematical Analysis

典型的数学论断具有 $ A \Rightarrow B $ 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语

证明中使用古典推证法则： $ A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B $ A 真且 A 蕴含 B,则 B 也真

排中律：$ (A \lor \lnot A) $ 始终成立

逆否命题等价于原命题: $ \lnot(\lnot A) \Leftrightarrow A $

证明开始与结束: $\blacktriangleleft$ 及 $\blacktriangleright$

据定义等于： $ := $ 或 $ =: $ 其中两点放在被定义的对象一边，比如式子 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx := \lim_{\lambda(P)\rightarrow 0} \sigma(f,P,\xi) $$ 是用右端定义左端，而右端含义认为是已知的

朴素集合论,康托尔(G.Gantor 1845-1918)

罗素(B.Russell)(1872-1970)悖论: 设 $M$ 为一集合，$ P(M)$ 表示 “$M$ 是不以自己作为元素的集”，考察集合 $K=\{M|P(M)\} $ 将有 $P(K)$ 不为真且 $\lnot P(K)$ 也不为真，产生矛盾

集合论公理体系

$x$ 是集合 $X$ 的元素记为： $ x \in X $ 或 $ X \ni x $ 不属于则为 $ x \notin X $

存在量词：$\exists$ “存在”或“找到”； 全称量词：$\forall$ “任何的”或“对于任何的”。

$ \forall x((x\in A) \Leftrightarrow (x\in B)) $ 则集合 A 与 B 为等价的，简记为 $ A=B $

$B$ 包含 $A$： $ (A \subset B):=\forall x((x \in A)\Rightarrow(x \in B)) $

$ (A=B) \Leftrightarrow (A \subset B)\land(B \subset A) $

集合 $M$ 的空子集：$ \varnothing = \{ x \in M| x \neq x \} $

$A,B$ 并集： $ A \cup B := \{x \in M|(x \in A)\lor (x \in B)\} $

$A,B$ 交集： $ A \cap B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \in B)\} $

$A,B$ 差集： $ A \setminus B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \notin B)\} $

$A$ 在 $M$ 中的补集：$ C_M A $

德•摩根(De.Morgan 1806-1871)规则：$$ C_M(A \cup B) = C_M A \cap C_M B $$ $$ C_M(A \cap B) = C_M A \cup C_M B $$

集合的直积（笛卡尔积）：笛卡尔(Descartes 1596-1650) $$ X \times Y := \{(x,y)|(x \in X)\land(y \in Y)\} $$ 其中 $(x,y)$ 为序对（其第一项是 $X$ 的元素，第二项为 $Y$ 中的元素。

设序对 $z=(x_1, x_2)$ 是集合 $X_1,X_2$ 的直积 $ X_1 \times X_2 $ 中的元素，那么 $x_1$ 叫做序对 $z$ 的第一射影，记作 $\textrm{pr}_1 z$ ; 而 $x_2$ 叫做序对 $z$ 的第二射影，记作 $ \textrm{pr}_2 z$

通常也叫 映射、变换、射、算子、泛函

记为 $ f: X \rightarrow Y $ 或 $ X \rightarrow^f Y. $ 或 $ y=f(x) $

函数的值集（值域）： $$ f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\} $$

概念：函数的出发域、函数的到达域

例1：球体积公式 $ V= \frac{4}{3}\pi r^3 $ 为在正实数集 $ \mathbb{R}_+ $ 上的函数 $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $

例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： $$ \begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases} $$ 为映射 $ G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $ \mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x $

例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: $$ \begin{cases} x'= \frac{x-vt}{ \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\frac{v}{c^2})x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases} $$ 其中 $c$ 为光速，变换 $ L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $。

例7：泛函：定义在函数上的函数。

例10：$n$质点系的构形空间

例12：$n$质点系的相空间

若有两映射 $ f: X \rightarrow Y $ 与 $ g: Y \rightarrow Z $, 且 $g$ 定义在 $f$ 的值域上，则可用公式 $$ (g \circ f) := g(f(x)) $$ 确定 $X$ 上的新映射 $$ g \circ f : X \rightarrow Z $$ 此映射 $g \circ f $ 叫做映射 f 与 映射 g 的复合映射

复合映射满足结合律： $ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $

$ f^n := f_n \circ … \circ f_1 $ 例子： 正数 $a$ 的平方根可按公式 $$ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + frac{a}{x_n}) $$ 用逐次逼近法来进行近似计算，前一步得到的值作为后一步的自变量值的计算方法叫做迭代法

显然不满足交换律：$ g \circ f \neq f \circ g $

恒等映射： 若映射$ f: X \rightarrow X $ 把 $X$ 的每个元映成自身, 那么把 $f$ 记做 $e_X$, 并称为恒等映射

引理：$$ (g \circ f = e_X) \Rightarrow (g是满射)\land(f是单射) $$

命题：映射 $ f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X $ 是互逆的双射当且仅当 $g \circ f = e_X$ 且 $f \circ g = e_Y $

从现代观点来看，前面的函数定义还不能说是一个定义，因为它利用了与函数等价的概念：对应。这里将介绍怎样用集合论语言给出函数定义。

序关系：偏序关系如果还满足条件 $\forall a \forall b((a\mathcal{R} b)\lor(b\mathcal{R} a)),即集 $X$中的任二元素均能比较，则把关系$\mathcal{R}$叫做序关系