第三章极限

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定义 1: 定义域为自然数集的函数 \(f: \mathbb{N} \rightarrow X \) 叫做序列。元素 \(x_n\) 叫做序列的第 \(n\) 项.
定义 2: 如果对于点 \(A \in \mathbb{R} \) 的任何邻域¹⁾ \(V(A)\), 存在号码 \(N\) (其选取与\(V(A)\) 相关), 使得数列的所有标号大于 \(N\)的项，包含在点 \(A\) 的这个邻域¹⁾ \(V(A)\) 之中，则称数 \(A \in \mathbb{R} \) 为数列 \({x_n}\) 的极限。
- 流行的表述：如果对于任何 \(\varepsilon > 0\), 存在号码 \(N\), 使得一切 \(n > N\), 有 \(|x_n - A| < \varepsilon \)
- 形式化定义：\[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A)) \] 相应得有： \[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon) \]
定义 3: 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A \), 就说数列 \({x_n}\) 收敛于 \(A\) 或趋于 \(A\), 并记成 “当 \(n \to \infty\) 时 \(x_n \to A \) ”。
- 有极限的序列叫做收敛序列，没有极限的序列叫做发散序列
- 例1： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \)
- 例4： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \)

如果一个数列只有一个值，则叫做常数列
定义 4: 如果满足 \( \exists A, \exists N, \forall\; n > N (x_n = A) \), 就说数列 \( \{x_n\}\) 为最终常数列
定义 5: 如果满足 \( \exists M \;\forall\; n \in \mathbb{N}(|x_n|<M) \), 就说数列 \( \{x_n\}\) 为有界数列
定理 1: a) 最终常数列可收敛.
- b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
- c) 数列不能有两个不同的极限.
- d) 收敛数列并有界.
定义 6: