public:math:mathematical_analysis:chapter_3

第三章 极限

  • 定义 1: 定义域为自然数集的函数 f:NX 叫做序列。 元素 xn 叫做序列的第 n 项.
  • 定义 2: 如果对于点 AR 的任何邻域1) V(A), 存在号码 N (其选取与V(A) 相关), 使得数列的所有标号大于 N的项,包含在点 A 的这个 邻域 V(A) 之中,则称数 AR 为数列 xn极限
    • 流行的表述:如果对于任何 ε>0, 存在号码 N, 使得一切 n>N, 有 |xnA|<ε
    • 形式化定义:(lim 相应得有: \bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon)
  • 定义 3: 如果 \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A , 就说数列 {x_n} 收敛A 或趋于 A, 并记成 “当 n \to \inftyx_n \to A ”。
    • 有极限的序列叫做收敛序列,没有极限的序列叫做发散序列
    • 例1: \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
    • 例4: \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0
  • 如果一个数列只有一个值,则叫做常数列
  • 定义 4: 如果满足 \exists A, \exists N, \forall\; n > N (x_n = A) , 就说 数列 \{x_n\}最终常数列
  • 定义 5: 如果满足 \exists M \;\forall\; n \in \mathbb{N}(|x_n|<M) , 就说数列 \{x_n\}有界数列
  • 定理 1: a) 最终常数列可收敛.
    • b) 数列极限的任何邻域,包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
    • c) 数列不能有两个不同的极限.
    • d) 收敛数列并有界.
  • 定义 6: 设 \{x_n\}, \{y_n\} 是两个数列,那么分别称数列 \{(x_n + y_n) \}, \{(x_n y_n)\}, \Bigl \{ \Bigl( \frac{x_n}{y_n} \Bigl) \Bigl \} 为它们的和、积、商
  • 定理 2: 设 \{x_n\}, \{y_n\} 是数列, 如果 \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B , 那么
    • a) \lim\limits_{n \to \infty}(x_n + y_n) = A + B ;
    • b) \lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot y_n = A \cdot B ;
    • c) \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B} , 如果 y_n \ne 0(n=1,2\cdots) \land B \ne 0 .
  • 定理 3: a) 设 \{x_n\}, \{y_n\} 是两个收敛数列,且 \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B . 如果 A < B , 就存在 N \in \mathbb{N} ,使得对于任何 n > N , 不等式 x_n < y_n 成立.
    • b) 设 \{x_n\}, \{y_n\} , \{z_n\} 是这样三个数列: 当 n > N \in \mathbb{N} 时, x_n \leqslant y_n \leqslant z_n. 如果 \{ x_n \} \{ z_n \} 收敛于同一极限,那么数列 \{y_n\} 也收敛于这个极限.
  • 定义 7: 满足 \forall \varepsilon> 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N \; \forall m > N (|x_m - x_n| < \varepsilon) 的 数列 \{x_n\} 叫做 基本列柯西列
  • 定理 4 (数列收敛的柯西准则): 数列收敛的充要条件是它是基本列
    • 证明不是基本列的否命题是:\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon
  • 定义 8: 设数列 \{x_n\} , 递增列:满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})
    • 不降列: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n \leqslant x_{n+1})
    • 不增列: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n \geqslant x_{n+1})
    • 递降列: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n > x_{n+1})
    • 以上四种都称之为 单调数列
  • 定义 9: 上有界列: 满足 \exists M,\forall n \in \mathbb{N}(x_n < M) ; 类似可定义 下有界列
  • 定理 5(魏尔斯特拉斯): 不降数列有极限的充要条件是它上有界
    • 例11: 当 q > 1 时, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0 .
    • 推论1: \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
    • 推论2: \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1
    • 例12: \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 , 其中 n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n .
  • 伯努利不等式 (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha , 其中 n \in \mathbb{N}, \alpha > -1
  • 定义10:自然常数 e : e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n

FIXME


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  • 最后更改: 2024/06/18 22:11
  • oakfire