第三章 极限

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==== 1. 定义和例子

• 定义 1: 定义域为自然数集的函数 \(f: \mathbb{N} \rightarrow X \) 叫做序列。 元素 \(x_n\) 叫做序列的第 \(n\) 项.
• 定义 2: 如果对于点 \(A \in \mathbb{R} \) 的任何邻域 \(V(A)\), 存在号码 \(N\) (其选取与\(V(A)\) 相关), 使得数列的所有标号大于 \(N\)的项，包含在点 \(A\) 的这个邻域\(V(A)\) 之中，则称数 \(A \in \mathbb{R} \) 为数列 \({x_n}\) 的极限。
  • 流行的表述：如果对于任何 \(\varepsilon > 0\), 存在号码 \(N\), 使得一切 \(n > N\), 有 \(|x_n - A| < \varepsilon \)
  • 形式化定义：\[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A)) \] 相应得有： \[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon) \]