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| public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/05 23:09] – [3. 数列极限的存在问题] oakfire | public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/18 22:11] (当前版本) – [3. 数列极限的存在问题] oakfire | ||
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| 行 29: | 行 29: | ||
| ==== 3. 数列极限的存在问题 ==== | ==== 3. 数列极限的存在问题 ==== | ||
| - | * **定义 7**: | + | * **定义 7**: |
| * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: | * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: | ||
| + | * 证明不是基本列的否命题是：\(\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon \) | ||
| + | * **定义 8**: 设数列 \( \{x_n\} \), **递增列**：满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})\) | ||
| + | * **不降列**: | ||
| + | * **不增列**: | ||
| + | * **递降列**: | ||
| + | * 以上四种都称之为 **单调数列** | ||
| + | * **定义 9**: **上有界列**: | ||
| + | * **定理 5(魏尔斯特拉斯)**: | ||
| + | * 例11: 当 \(q > 1\) 时， \( \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0 \). | ||
| + | * 推论1：\( \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \) | ||
| + | * 推论2：\( \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \) | ||
| + | * 例12: \( \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n \). | ||
| + | * **伯努利不等式**：\( (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, \alpha > -1 \) | ||
| + | * **定义10：自然常数 \(e\) **: \[ e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n \] | ||
| FIXME | FIXME | ||
oakfire