public:math:mathematical_analysis:chapter_3

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public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/03 11:11] – [1. 定义和例子] oakfirepublic:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/18 22:11] (当前版本) – [3. 数列极限的存在问题] oakfire
行 20: 行 20:
     * c) 数列不能有两个不同的极限.     * c) 数列不能有两个不同的极限.
     * d) 收敛数列并有界.      * d) 收敛数列并有界. 
-  * **定义 6**: +  * **定义 6**: 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是两个数列，那么分别称数列\[ \{(x_n + y_n) \}, \{(x_n y_n)\}, \Bigl \{ \Bigl( \frac{x_n}{y_n} \Bigl) \Bigl \} \] 为它们的**和、积、商** 
 +  * **定理 2**: 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是数列， 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B \), 那么 
 +    * a) \( \lim\limits_{n \to \infty}(x_n + y_n) = A + B \); 
 +    * b) \( \lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot y_n = A \cdot B \); 
 +    * c) \( \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B} \), 如果 \( y_n \ne 0(n=1,2\cdots) \land B \ne 0 \). 
 +  * **定理 3**: a) 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是两个收敛数列，且 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B \). 如果 \( A < B \), 就存在 \( N \in \mathbb{N} \)，使得对于任何 \( n > N \), 不等式 \( x_n < y_n \) 成立. 
 +    * b) 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} , \{z_n\} \) 是这样三个数列: 当 \( n > N \in \mathbb{N} \) 时， \( x_n \leqslant y_n \leqslant z_n\). 如果 \( \{ x_n \} \) 与 \( \{ z_n \} \) 收敛于同一极限，那么数列 \( \{y_n\}\) 也收敛于这个极限.
  
 +==== 3. 数列极限的存在问题 ====
 +  * **定义 7**:  满足 \( \forall \varepsilon> 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N \; \forall m > N (|x_m - x_n| < \varepsilon)\) 的 数列 \(\{x_n\}\) 叫做 **基本列** 或 **柯西列**
 +  * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: 数列收敛的充要条件是它是基本列
 +    * 证明不是基本列的否命题是：\(\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon \)
 +  * **定义 8**: 设数列 \( \{x_n\} \), **递增列**：满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})\)
 +    * **不降列**: 满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n \leqslant x_{n+1})\)
 +    * **不增列**: 满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n \geqslant x_{n+1})\)
 +    * **递降列**: 满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n > x_{n+1})\)
 +    * 以上四种都称之为 **单调数列**
 +  * **定义 9**: **上有界列**: 满足 \(\exists M,\forall n \in \mathbb{N}(x_n < M) \); 类似可定义 **下有界列**
 +  * **定理 5(魏尔斯特拉斯)**: 不降数列有极限的充要条件是它上有界
 +    * 例11: 当 \(q > 1\) 时， \( \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0 \).
 +    * 推论1：\( \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \)
 +    * 推论2：\( \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \)
 +    * 例12: \( \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n  \).
 +  * **伯努利不等式**：\( (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, \alpha > -1 \)
 +  * **定义10：自然常数 \(e\) **:  \[ e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n \]
 FIXME FIXME
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  • 最后更改: 2024/06/03 11:11
  • 由 oakfire