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| public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/02 17:33] – oakfire | public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/18 22:11] (当前版本) – [3. 数列极限的存在问题] oakfire | ||
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| ===== \(\S\)1. 序列的极限 ===== | ===== \(\S\)1. 序列的极限 ===== | ||
| - | ==== 1. 定义和例子 | + | ==== 1. 定义和例子 |
| * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数 \(f: \mathbb{N} \rightarrow X \) 叫做**序列**。 元素 \(x_n\) 叫做序列的第 \(n\) 项. | * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数 \(f: \mathbb{N} \rightarrow X \) 叫做**序列**。 元素 \(x_n\) 叫做序列的第 \(n\) 项. | ||
| - | * **定义 2**: 如果对于点 \(A \in \mathbb{R} \) 的任何邻域 \(V(A)\), 存在号码 \(N\) (其选取与\(V(A)\) 相关), 使得数列的所有标号大于 \(N\)的项，包含在点 \(A\) 的这个邻域\(V(A)\) 之中，则称数 \(A \in \mathbb{R} \) 为数列 \({x_n}\) 的**极限**， | + | * **定义 2**: 如果对于点 \(A \in \mathbb{R} \) 的任何邻域((定义见 [[public: |
| + | * 流行的表述：如果对于任何 \(\varepsilon > 0\), 存在号码 \(N\), 使得一切 \(n > N\), 有 \(|x_n - A| < \varepsilon \) | ||
| + | * 形式化定义：\[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A)) \] 相应得有： \[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon) \] | ||
| + | * **定义 3**: 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A \), 就说数列 \({x_n}\) **收敛**于 \(A\) 或趋于 \(A\), 并记成 “当 \(n \to \infty\) 时 \(x_n \to A \) ”。 | ||
| + | * 有极限的序列叫做**收敛序列**，没有极限的序列叫做**发散序列** | ||
| + | * 例1： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \) | ||
| + | * 例4： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \) | ||
| + | ==== 2. 数列极限的性质 ==== | ||
| + | * 如果一个数列只有一个值，则叫做**常数列** | ||
| + | * **定义 4**: 如果满足 \( \exists A, \exists N, \forall\; n > N (x_n = A) \), 就说 数列 \( \{x_n\}\) 为**最终常数列** | ||
| + | * **定义 5**: 如果满足 \( \exists M \;\forall\; n \in \mathbb{N}(|x_n|< | ||
| + | * **定理 1**: a) 最终常数列可收敛. | ||
| + | * b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项. | ||
| + | * c) 数列不能有两个不同的极限. | ||
| + | * d) 收敛数列并有界. | ||
| + | * **定义 6**: 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是两个数列，那么分别称数列\[ \{(x_n + y_n) \}, \{(x_n y_n)\}, \Bigl \{ \Bigl( \frac{x_n}{y_n} \Bigl) \Bigl \} \] 为它们的**和、积、商** | ||
| + | * **定理 2**: 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是数列， 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B \), 那么 | ||
| + | * a) \( \lim\limits_{n \to \infty}(x_n + y_n) = A + B \); | ||
| + | * b) \( \lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot y_n = A \cdot B \); | ||
| + | * c) \( \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B} \), 如果 \( y_n \ne 0(n=1, | ||
| + | * **定理 3**: a) 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是两个收敛数列，且 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B \). 如果 \( A < B \), 就存在 \( N \in \mathbb{N} \)，使得对于任何 \( n > N \), 不等式 \( x_n < y_n \) 成立. | ||
| + | * b) 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} , \{z_n\} \) 是这样三个数列: | ||
| + | ==== 3. 数列极限的存在问题 ==== | ||
| + | * **定义 7**: 满足 \( \forall \varepsilon> | ||
| + | * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: | ||
| + | * 证明不是基本列的否命题是：\(\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon \) | ||
| + | * **定义 8**: 设数列 \( \{x_n\} \), **递增列**：满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})\) | ||
| + | * **不降列**: | ||
| + | * **不增列**: | ||
| + | * **递降列**: | ||
| + | * 以上四种都称之为 **单调数列** | ||
| + | * **定义 9**: **上有界列**: | ||
| + | * **定理 5(魏尔斯特拉斯)**: | ||
| + | * 例11: 当 \(q > 1\) 时， \( \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0 \). | ||
| + | * 推论1：\( \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \) | ||
| + | * 推论2：\( \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \) | ||
| + | * 例12: \( \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n \). | ||
| + | * **伯努利不等式**：\( (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, \alpha > -1 \) | ||
| + | * **定义10：自然常数 \(e\) **: \[ e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n \] | ||
| FIXME | FIXME | ||
oakfire