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| public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 16:51] – [1. 闭区间套引理（柯西-康托尔原理）] oakfire | public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire | ||
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| 行 146: | 行 146: | ||
| * **定义 4**：假如点 \(p \in \mathbb{R} \) 的任何**邻域**都包含 \( X \subset \mathbb{R} \) 的一个无穷子集，就称点 \(p \in \mathbb{R} \) 为集合 \(X\) 的**极限点** | * **定义 4**：假如点 \(p \in \mathbb{R} \) 的任何**邻域**都包含 \( X \subset \mathbb{R} \) 的一个无穷子集，就称点 \(p \in \mathbb{R} \) 为集合 \(X\) 的**极限点** | ||
| * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点 | * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点 | ||
| - | FIXME | + | |
| + | ===== \(\S\)4. 可数集与不可数集 ===== | ||
| + | ==== 1. 可数集 ==== | ||
| + | * **定义 1**： 如果集合 \(X\) 与自然数集 \(\mathbb{N}\) 等势， 即 \( \textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}\)，就称 \(X\) 为**可数集** | ||
| + | * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集 | ||
| + | * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集 | ||
| + | * 推论 1): \( \textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}\) | ||
| + | * 推论 2): \( \textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}\)，即可数集的直积也是可数集 | ||
| + | * 推论 3): \( \textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}\)，集有理数集是可数的 | ||
| + | * 推论 4): 代数数集是可数集 | ||
| + | |||
| + | ==== 2. 连续统的势 ==== | ||
| + | * **定义 2**: 实数集 \(\mathbb{R}\) 也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势** | ||
| + | * **定理（康托尔）**: | ||
| + | * 推论 1): \(\mathbb{Q} \neq \mathbb{R} \) 且无理数存在. | ||
| + | * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数 | ||
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oakfire