public:math:mathematical_analysis:chapter_2

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public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 16:36] – [2. 有限覆盖引理] oakfirepublic:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire
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   * **定义1**：以自然数为变量的函数 \(f:\mathbb{N}\to X\) 叫做**序列**，完整说法为**集合 \(X\) 中的元素序列**   * **定义1**：以自然数为变量的函数 \(f:\mathbb{N}\to X\) 叫做**序列**，完整说法为**集合 \(X\) 中的元素序列**
   * **定义2**：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots \) 是集合的序列，如果 \(X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots \), 即 \(\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})\), 那么，就说它是**套列集**   * **定义2**：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots \) 是集合的序列，如果 \(X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots \), 即 \(\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})\), 那么，就说它是**套列集**
-  * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n、supset \cdots \), 存在一点 \(c\in\mathbb{R}\),属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何 \(\varepsilon > 0 \), 在序列中能找到闭区间 \(I_k\)，使其长 \(|I_k|<\varepsilon\)，那么 \(c\) 就是所有闭区间的唯一公共点+  * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \), 存在一点 \(c\in\mathbb{R}\),属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何 \(\varepsilon > 0 \), 在序列中能找到闭区间 \(I_k\)，使其长 \(|I_k|<\varepsilon\)，那么 \(c\) 就是所有闭区间的唯一公共点
 ==== 2. 有限覆盖引理 ==== ==== 2. 有限覆盖引理 ====
   * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理   * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理
   * **定义 3**：设 \(S = \{X\} \) 是由一些集合 \(X\) 构成的集族。 如果 \( Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X\) (即集合 \(Y\) 的每个元素 \(y\), 至少含在集族 \(S\) 中的一个集合 \(X\) 中），就说 \(S\) **覆盖** 集合 \(Y\).   * **定义 3**：设 \(S = \{X\} \) 是由一些集合 \(X\) 构成的集族。 如果 \( Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X\) (即集合 \(Y\) 的每个元素 \(y\), 至少含在集族 \(S\) 中的一个集合 \(X\) 中），就说 \(S\) **覆盖** 集合 \(Y\).
-FIXME+  * 引理：在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族 
 + 
 +==== 3. 极限点引理 ==== 
 +  * 又名 波尔察诺-魏尔斯特拉斯((波尔察诺 B.Bolzano 1781-1848 捷克数学家与哲学家. 魏尔斯特拉斯 K.Weierstrass 1815-1897 德国数学家，关注数学分析的逻辑基础))原理 
 +  * **定义 4**：假如点 \(p \in \mathbb{R} \) 的任何**邻域**都包含 \( X \subset \mathbb{R} \) 的一个无穷子集，就称点 \(p \in \mathbb{R} \) 为集合 \(X\) 的**极限点** 
 +  * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点 
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 +===== \(\S\)4. 可数集与不可数集 ===== 
 +==== 1. 可数集 ==== 
 +  * **定义 1**： 如果集合 \(X\) 与自然数集 \(\mathbb{N}\) 等势， 即 \( \textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}\)，就称 \(X\) 为**可数集**  
 +  * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集 
 +  * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集 
 +  * 推论 1): \( \textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}\) 
 +  * 推论 2): \( \textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}\)，即可数集的直积也是可数集 
 +  * 推论 3): \( \textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}\)，集有理数集是可数的 
 +  * 推论 4): 代数数集是可数集 
 + 
 +==== 2. 连续统的势 ==== 
 +  * **定义 2**: 实数集 \(\mathbb{R}\) 也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势** 
 +  * **定理（康托尔）**: \( \textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}\) 
 +  * 推论 1): \(\mathbb{Q} \neq \mathbb{R} \) 且无理数存在. 
 +  * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数 
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  • 最后更改: 2024/06/02 16:36
  • 由 oakfire