public:math:mathematical_analysis:chapter_1

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public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2024/06/02 15:48] – [4. 作为关系的函数.函数的图像] oakfirepublic:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2026/08/13 11:44] (当前版本) – [1. 关系与括号] oakfire
行 3: 行 3:
 ===== \(\S1\) 逻辑符号 ===== ===== \(\S1\) 逻辑符号 =====
 ==== 1. 关系与括号 ==== ==== 1. 关系与括号 ====
-  * \( \lnot \) “非”;　\( \land \) “与”;　\( \lor \) “或”;　\( \Rightarrow \) “蕴含”;　\( \Leftrightarrow \) “等价”+  * $\lnot$ “非”;　$\land$ “与”;　$ \lor $ “或”;　$ \Rightarrow $ “蕴含”;　$ \Leftrightarrow $ “等价”
 ==== 2. 关于证明的注记 ==== ==== 2. 关于证明的注记 ====
     * 典型的数学论断具有 \( A \Rightarrow B \) 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语     * 典型的数学论断具有 \( A \Rightarrow B \) 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语
行 112: 行 112:
     * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 \(\varnothing_X = \{ x \in X| x \neq x \} \),再根据容积公理，推论空集是唯一的，记作符号 \(  \varnothing \)      * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 \(\varnothing_X = \{ x \in X| x \neq x \} \),再根据容积公理，推论空集是唯一的，记作符号 \(  \varnothing \) 
   - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 \(M\), 存在集合 \(\cup M\), 成为集合 \(M\) 的并， 它的元素恰好是 \(M\) 中所含元素的元素。   - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 \(M\), 存在集合 \(\cup M\), 成为集合 \(M\) 的并， 它的元素恰好是 \(M\) 中所含元素的元素。
-    * 由并公理及分出公理，可定义集 \(M\) 的**交**为集合 \( \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \)+    * 由并公理及分出公理，可定义集 \(M\) 的**交**为集合 \[ \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \]
   - **对公理** 对于任意集合 \(X,Y\), 存在一个集合 \(Z\), 使 \(X\) 与 \(Y\) 是它仅有的元素。   - **对公理** 对于任意集合 \(X,Y\), 存在一个集合 \(Z\), 使 \(X\) 与 \(Y\) 是它仅有的元素。
     * \(Z\) 即 \(X\) 与 \(Y\) 的无序对。     * \(Z\) 即 \(X\) 与 \(Y\) 的无序对。
   - **子集之集的公理** 对于任意集合 \(X\), 存在集合 \(\mathcal{P}(X)\), 它的元素恰好就是 \(X\) 的一切子集   - **子集之集的公理** 对于任意集合 \(X\), 存在集合 \(\mathcal{P}(X)\), 它的元素恰好就是 \(X\) 的一切子集
-    * 由此公理，可定义 \(X \times Y\)的直积： \(X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}\)+    * 由此公理，可定义 \(X \times Y\)的直积： \[X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}\]
     * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论     * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论
   - **无穷公理** 归纳集存在   - **无穷公理** 归纳集存在
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  • 最后更改: 2024/06/02 15:48
  • 由 oakfire