public:math:mathematical_analysis:chapter_1

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public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2021/12/06 15:36] – [1. 关系与括号] oakfirepublic:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2024/06/02 15:55] (当前版本) – [2. 公理化集合论] oakfire
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     * 设有两集合 $X$ 与 $Y$, 如有规律 $f$, 对于每个元素 $x \in X $ ,都有一元素 $y \in Y $ 与之<wrap em>对应</wrap>，则说有一个定义在 $X$ 上而在 $Y$ 中取值的**函数**     * 设有两集合 $X$ 与 $Y$, 如有规律 $f$, 对于每个元素 $x \in X $ ,都有一元素 $y \in Y $ 与之<wrap em>对应</wrap>，则说有一个定义在 $X$ 上而在 $Y$ 中取值的**函数**
     * 通常也叫 //映射、变换、射、算子、泛函//      * 通常也叫 //映射、变换、射、算子、泛函// 
-    * 记为 $ f: X \rightarrow Y $ 或 $ X \rightarrow^f Y. $ 或  $ y=f(x) $+    * 记为 $ f: X \rightarrow Y $ 或 $ X \xrightarrow{f} Y. $ 或  $ y=f(x) $
     * 函数的值集（值域）： $$ f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\} $$     * 函数的值集（值域）： $$ f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\} $$
-    * 概念：//函数的出发域、函数的到达域//+    * 概念：函数的**出发域**、函数的**到达域**
     * 例1：球体积公式 $ V= \frac{4}{3}\pi r^3 $ 为在正实数集 $ \mathbb{R}_+ $ 上的函数 $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $     * 例1：球体积公式 $ V= \frac{4}{3}\pi r^3 $ 为在正实数集 $ \mathbb{R}_+ $ 上的函数 $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $
     * 例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： \[ \begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases} \] 为映射 $ G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $ \mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x $     * 例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： \[ \begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases} \] 为映射 $ G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $ \mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x $
     * 例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: \[ \begin{cases} x'= \displaystyle\frac{x-vt}{ \displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\displaystyle\frac{v}{c^2})x}{\displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases} \] 其中 $c$ 为光速，变换 $ L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $。     * 例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: \[ \begin{cases} x'= \displaystyle\frac{x-vt}{ \displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\displaystyle\frac{v}{c^2})x}{\displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases} \] 其中 $c$ 为光速，变换 $ L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $。
-    * 例7：泛函：定义在函数上的函数。+    * 例7：**泛函**：定义在函数上的函数。
     * 例10：$n$质点系的构形空间     * 例10：$n$质点系的构形空间
     * 例12：$n$质点系的相空间     * 例12：$n$质点系的相空间
行 82: 行 82:
       * 在实数轴上，任何一对实数都能讨论 $\preccurlyeq$ 关系。       * 在实数轴上，任何一对实数都能讨论 $\preccurlyeq$ 关系。
     * <wrap em>函数</wrap>： 如果满足 $ (x\mathcal{R}y_1)\land(x\mathcal{R}y_2) \Rightarrow (y_1=y_2) $， 就说关系 $\mathcal{R}$ 是一个函数关系，即**函数**。     * <wrap em>函数</wrap>： 如果满足 $ (x\mathcal{R}y_1)\land(x\mathcal{R}y_2) \Rightarrow (y_1=y_2) $， 就说关系 $\mathcal{R}$ 是一个函数关系，即**函数**。
-      * 常用符号$f$来表示函数，书写为 $ y=f(x) $ 或 $ X \rightarrow ^f Y. $ +      * 常用符号$f$来表示函数，书写为 $ y=f(x) $ 或 $ x \xrightarrow{f} y. $ 
-    * **函数图像**：设 $\varGamma$ 是直积 $ X\times Y$ 的子集，它由一切形如 $(x,f(x))$的元素组成，因而 \[ \varGamma := {(x,y) \in X\times Y|y=f(x)}\].我们则称这个子集 $\varGamma$ 是在原来意义下函数 $ f: X \rightarrow Y $ 的**图像**+    * **函数图像**：设 $\varGamma$ 是直积 $ X\times Y$ 的子集，它由一切形如 $(x,f(x))$的元素组成，因而 \[ \varGamma := \{(x,y) \in X\times Y|y=f(x)\}\].我们则称这个子集 $\varGamma$ 是在原来意义下函数 $ f: X \rightarrow Y $ 的**图像**
  
 ===== \(\S4\) 某些补充 ===== ===== \(\S4\) 某些补充 =====
行 112: 行 112:
     * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 \(\varnothing_X = \{ x \in X| x \neq x \} \),再根据容积公理，推论空集是唯一的，记作符号 \(  \varnothing \)      * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 \(\varnothing_X = \{ x \in X| x \neq x \} \),再根据容积公理，推论空集是唯一的，记作符号 \(  \varnothing \) 
   - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 \(M\), 存在集合 \(\cup M\), 成为集合 \(M\) 的并， 它的元素恰好是 \(M\) 中所含元素的元素。   - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 \(M\), 存在集合 \(\cup M\), 成为集合 \(M\) 的并， 它的元素恰好是 \(M\) 中所含元素的元素。
-    * 由并公理及分出公理，可定义集 \(M\) 的**交**为集合 \( \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \)+    * 由并公理及分出公理，可定义集 \(M\) 的**交**为集合 \[ \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \]
   - **对公理** 对于任意集合 \(X,Y\), 存在一个集合 \(Z\), 使 \(X\) 与 \(Y\) 是它仅有的元素。   - **对公理** 对于任意集合 \(X,Y\), 存在一个集合 \(Z\), 使 \(X\) 与 \(Y\) 是它仅有的元素。
     * \(Z\) 即 \(X\) 与 \(Y\) 的无序对。     * \(Z\) 即 \(X\) 与 \(Y\) 的无序对。
   - **子集之集的公理** 对于任意集合 \(X\), 存在集合 \(\mathcal{P}(X)\), 它的元素恰好就是 \(X\) 的一切子集   - **子集之集的公理** 对于任意集合 \(X\), 存在集合 \(\mathcal{P}(X)\), 它的元素恰好就是 \(X\) 的一切子集
-    * 由此公理，可定义 \(X \times Y\)的直积： \(X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}\)+    * 由此公理，可定义 \(X \times Y\)的直积： \[X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}\]
     * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论     * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论
   - **无穷公理** 归纳集存在   - **无穷公理** 归纳集存在
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  • 由 oakfire