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--- public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2019/03/24 17:38] – [3. 关于数学命题的逻辑结构及其用集合论语言的写法的注记] oakfire
+++ public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2024/06/02 15:55] (当前版本) – [2. 公理化集合论] oakfire
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 ===== \(\S1\) 逻辑符号 =====
 ==== 1. 关系与括号 ====
-  * \( \lnot \) “非”, \( \land \) “与”, \( \lor \) “或”, \( \Rightarrow \) “蕴含”, \( \Leftrightarrow \) “等价”
+  * \( \lnot \) “非”;　\( \land \) “与”;　\( \lor \) “或”;　\( \Rightarrow \) “蕴含”;　\( \Leftrightarrow \) “等价”
 ==== 2. 关于证明的注记 ====
     * 典型的数学论断具有 \( A \Rightarrow B \) 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语
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     * 设有两集合 $X$ 与 $Y$, 如有规律 $f$, 对于每个元素 $x \in X $ ,都有一元素 $y \in Y $ 与之<wrap em>对应</wrap>，则说有一个定义在 $X$ 上而在 $Y$ 中取值的**函数**
     * 通常也叫 //映射、变换、射、算子、泛函//
-    * 记为 $ f: X \rightarrow Y $ 或 $ X \rightarrow^f Y. $ 或  $ y=f(x) $
+    * 记为 $ f: X \rightarrow Y $ 或 $ X \xrightarrow{f} Y. $ 或  $ y=f(x) $
     * 函数的值集（值域）： $$ f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\} $$
-    * 概念：//函数的出发域、函数的到达域//
+    * 概念：函数的**出发域**、函数的**到达域**
     * 例1：球体积公式 $ V= \frac{4}{3}\pi r^3 $ 为在正实数集 $ \mathbb{R}_+ $ 上的函数 $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $
     * 例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： \[ \begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases} \] 为映射 $ G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $ \mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x $
     * 例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: \[ \begin{cases} x'= \displaystyle\frac{x-vt}{ \displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\displaystyle\frac{v}{c^2})x}{\displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases} \] 其中 $c$ 为光速，变换 $ L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $。
-    * 例7：泛函：定义在函数上的函数。
+    * 例7：**泛函**：定义在函数上的函数。
     * 例10：$n$质点系的构形空间
     * 例12：$n$质点系的相空间
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       * 在实数轴上，任何一对实数都能讨论 $\preccurlyeq$ 关系。
     * <wrap em>函数</wrap>： 如果满足 $ (x\mathcal{R}y_1)\land(x\mathcal{R}y_2) \Rightarrow (y_1=y_2) $， 就说关系 $\mathcal{R}$ 是一个函数关系，即**函数**。
-      * 常用符号$f$来表示函数，书写为 $ y=f(x) $ 或 $ X \rightarrow ^f Y. $
+      * 常用符号$f$来表示函数，书写为 $ y=f(x) $ 或 $ x \xrightarrow{f} y. $
-    * **函数图像**：设 $\varGamma$ 是直积 $ X\times Y$ 的子集，它由一切形如 $(x,f(x))$的元素组成，因而 \[ \varGamma := {(x,y) \in X\times Y|y=f(x)}\].我们则称这个子集 $\varGamma$ 是在原来意义下函数 $ f: X \rightarrow Y $ 的**图像**
+    * **函数图像**：设 $\varGamma$ 是直积 $ X\times Y$ 的子集，它由一切形如 $(x,f(x))$的元素组成，因而 \[ \varGamma := \{(x,y) \in X\times Y|y=f(x)\}\].我们则称这个子集 $\varGamma$ 是在原来意义下函数 $ f: X \rightarrow Y $ 的**图像**
 ===== \(\S4\) 某些补充 =====
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   * **等势**： 设 \(X,Y\) 为两集合，如果存在 \(X\) 到 \(Y\) 的双射，即每个 \( x\in X\) ,有不同的 \( y \in Y \) 与之对应，并且每个 \(y\) 必是 \(X\) 中某元素的对应元素，则称 \(X\) 与 \(Y\) 等势
   * 集的**类**：等势的 \(X,Y\) 显然是等价关系，即 \(X \thicksim Y\),彼此等价的集合有相同数量的元素（等势), 彼此等价的集合构成一个**类**，不同类中的集合所含元素数量不同。势这个概念意义在于方便比较集合元素数量。
-  * **势/基数**：集 \(X\) 所在的**类**叫集 \(X\) 的势，或叫 \(X\) 的基数， 记作 \(\textrm{card}X\)，方便比较集合元素数量.等势力记作 \( \text{card}X = \textrm{card}Y \)
+  * **势/基数**：集 \(X\) 所在的**类**叫集 \(X\) 的势，或叫 \(X\) 的基数， 记作 \(\textrm{card}X\)，方便比较集合元素数量.等势力记作 \( \textrm{card } X = \textrm{card }Y \)
-  * 如果集合 \(X\) 与集合 \(Y\) 的某个子集等势，则有 \( \text{card}X \leqslant \text{card}Y \), 即 \[ (\text{card}X \leqslant \text{card}Y):=(\exists Z \subset Y|\text{card}X = \text{card}Z) \]
+  * 如果集合 \(X\) 与集合 \(Y\) 的某个子集等势，则有 \( \textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y \), 即 \[ (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y):=(\exists Z \subset Y|\textrm{card }X = \textrm{card }Z) \]
-  * 如果 \(X \subset Y\),则显然有 \(\text{card}X \leqslant \text{card}Y\) .然而\(X \subset Y\) 也可能有 \(\text{card}Y \leqslant \text{card}X\).
+  * 如果 \(X \subset Y\),则显然有 \(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y\) .然而\(X \subset Y\) 也可能有 \(\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }X\).
     * 例如 对应 \(x \mapsto \frac{x}{1-|x|} \) 是数轴 \(\mathbb R\) 的开区间 \( -1 < x < 1 \) 到整个数轴的双射。
     * 一集合能与其自己的部分等势，是这个集合为无穷集的特征标志。不与任何真子集等势则叫有穷集。
   * 集合势的不等关系有下列性质：
-    - \( (\text{card}X \leqslant \text{card}Y ) \land (\text{card}Y \leqslant \text{card}Z) => (\text{card}X \leqslant \text{card}Z) \) (显然）
+    - \( (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y ) \land (\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }Z) \Rightarrow (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Z) \) (显然）
-    - \( (\text{card}X \leqslant \text{card}Y ) \land (\text{card}X \leqslant \text{card}Y) => (\text{card}X = \text{card}Y) \)(施略德-伯恩斯坦定理）
+    - \( (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y ) \land (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y) \Rightarrow (\textrm{card }X = \textrm{card }Y) \)(施略德-伯恩斯坦定理）
-    - \( \forall X \forall Y(\text{card}X \leqslant \text{card}Y) \lor (\text{card}Y \leqslant \text{card}X) \)(康托尔定理）
+    - \( \forall X \forall Y(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y) \lor (\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }X) \)(康托尔定理）
   * 因此基数类是有线性序的。
-  * \(X\)的势小于\(Y\)的势的定义：\[ (\text{card}X < \text{card}Y) := (\text{card}X \leqslant \text{card}Y)\land(\text{card}X \neq \text{card}Y) \]
+  * \(X\)的势小于\(Y\)的势的定义：\[ (\textrm{card }X < \textrm{card }Y) := (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y)\land(\textrm{card }X \neq \textrm{card }Y) \]
-  * 用 \(\varnothing\) 记空集，用 \( \mathcal{P}(X) \)记 \(X\) 的一切子集构成的集，康托尔发现以下定理:\[ \text{card}X < \text{card}\mathcal{P}(X)\]
+  * 用 \(\varnothing\) 记空集，用 \( \mathcal{P}(X) \)记 \(X\) 的一切子集构成的集，康托尔发现以下定理:\[ \textrm{card }X < \textrm{card }\mathcal{P}(X)\]
-    * 证明开始\(\blacktriangleleft\)：对于 空集 \(\varnothing\) 显然成立。非 \(\varnothing\) 时， \mathcal{P}(X) 含有 \(X\) 的一切单元素子集，所以 \(\text{card}X \leqslant \text{card}Y \);
+    * 证明开始\(\blacktriangleleft\)：对于 空集 \(\varnothing\) 显然成立。非 \(\varnothing\) 时， \(\mathcal{P}(X)\) 含有 \(X\) 的一切单元素子集，所以 \(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }\mathcal{P}(X) \);
-    * 假设 \( \text{card}X = \text{card}\mathcal{P}(X) \), 则存在双射 \(f: X \to \mathcal{P}(X) \). 考虑集合\( A = \{ x \in X|x \notin f(x)\}\)
+    * 假设 \( \textrm{card }X = \textrm{card }\mathcal{P}(X) \), 则存在双射 \(f: X \to \mathcal{P}(X) \). 考虑集合\( A = \{ x \in X|x \notin f(x)\}\)
-    * \( (A \in \mathcal{P}(X)) => \exists (a\in X) \land (f(a) = A) \), 此时这个元素 \(a\) 既不能有 \(a \in A\) 又不能有 \(a \notin A\), 与排中律矛盾
+    * \( (A \in \mathcal{P}(X)) \Rightarrow \exists (a\in X) \land (f(a) = A) \), 此时这个元素 \(a\) 既不能有 \(a \in A\) 又不能有 \(a \notin A\), 与排中律矛盾
-    *  所以 \(\text{card}X \neq \text{card}\mathcal{P}(X) \)
+    *  所以 \(\textrm{card }X \neq \textrm{card }\mathcal{P}(X) \)
     * \(\blacktriangleright\)证明结束
   * 特别地，这个定理说明，如果无穷集存在，那么“无穷”与“无穷”也是有势的区别的。
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     * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 \(\varnothing_X = \{ x \in X| x \neq x \} \),再根据容积公理，推论空集是唯一的，记作符号 \(  \varnothing \)
   - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 \(M\), 存在集合 \(\cup M\), 成为集合 \(M\) 的并， 它的元素恰好是 \(M\) 中所含元素的元素。
-    * 由并公理及分出公理，可定义集 \(M\) 的**交**为集合 \( \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) => (x \in X)\} \)
+    * 由并公理及分出公理，可定义集 \(M\) 的**交**为集合 \[ \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \]
   - **对公理** 对于任意集合 \(X,Y\), 存在一个集合 \(Z\), 使 \(X\) 与 \(Y\) 是它仅有的元素。
     * \(Z\) 即 \(X\) 与 \(Y\) 的无序对。
   - **子集之集的公理** 对于任意集合 \(X\), 存在集合 \(\mathcal{P}(X)\), 它的元素恰好就是 \(X\) 的一切子集
-    * 由此公理，可定义 \(X \times Y\)的直积： \(X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}\)
+    * 由此公理，可定义 \(X \times Y\)的直积： \[X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}\]
     * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论
   - **无穷公理** 归纳集存在
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     * 换句话说，恰好可从族中的每个集中选出一个代表，由它们组成集合\(C\)
     * 此公理（即数学中著名的梅策洛公理）与公理1.~7.独立，在数学分析中经常用到。
-==== 3. 关于数学命题的逻辑结构及其用集合论语言的写法的注记 ====
+==== 3. 数学命题的逻辑结构与写法 ====
-  * 优先级：\(\in,=\) 最优先； \(\exists,\forall\) 其次； \(\lnot,\land,\lor,=>\) 最后。
+  * 优先级：\(\in,=\) 最优先； \(\exists,\forall\) 其次； \(\lnot,\land,\lor,\Rightarrow\) 最后。
+  * \(\mathbb{R}\) 表示实数集
+  * 含有量词的命题的否定：\[\lnot \exists xP(x) \Leftrightarrow \forall x\lnot P(x) \] \[\lnot \forall xP(x) \Leftrightarrow \exists x\lnot P(x) \]