统计学 Statistics

一维数据分析

一维数据分析
平均值(Mean) 所有数据之和除以数据点的个数，以此表示数据集的平均大小；其数学定义为 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+ \dots +x_n}{n}$
方差(Variance)这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度；其数学定义为： $s_N^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2$

标准差(Standard Deviation)与方差一样，表示的也是数据点的离散程度；其在数学上定义为方差的平方根： $s_N^2=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2}$
为什么使用标准差？与方差相比，使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处：
- 表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致，更适合对数据样本形成感性认知。依然以上述10个点的CPU使用率数据为例，其方差约为41，而标准差则为6.4；两者相比较，标准差更适合人理解。
- 表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致，更方便做后续的分析运算。
- 在样本数据大致符合正态分布的情况下，标准差具有方便估算的特性：66.7%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。
平均值与标准差的适用范围及误用 大多数统计学指标都有其适用范围，平均值、方差和标准差也不例外，其适用的数据集必须满足以下条件： 中部单峰：
- 数据集只存在一个峰值。很简单，以假想的CPU使用率数据为例，如果50%的数据点位于20附近，另外50%的数据点位于80附近（两个峰），那么计算得到的平均值约为50，而标准差约为31；这两个计算结果完全无法描述数据点的特征，反而具有误导性。
- 这个峰值必须大致位于数据集中部。还是以假想的CPU数据为例，如果80%的数据点位于20附近，剩下的20%数据随机分布于30~90之间，那么计算得到的平均值约为35，而标准差约为25；与之前一样，这两个计算结果不仅无法描述数据特征，反而会造成误导。
- 遗憾的是，在现实生活中，很多数据分布并不满足上述两个条件；因此，在使用平均值、方差和标准差的时候，必须谨慎小心。