(I)加法公理: 确定了一个映射(加法运算) +:R×R→R 使得对于 R 中任意二元 x,y 之序对 (x,y),有某元 x+y∈R 与之对应,称 x+y 为 x、y之和,同时映射满足以下条件:
1+. 有中性元 0 存在(叫做加法零元),使得∀x∈R 有 x+0=0+x=x
2+. 每个元素 x∈R有元 −x∈R , 叫做 x 的负元,使得x+(−x)=(−x)+x=0
3+. 运算 + 是结合的,即 R 中任何 x,y,z) 满足条件x+(y+z)=(x+y)+z
4+. 运算 + 是交换的,即 R 中任何 x,y 满足x+y=y+x
拥有满足1+,2+,3+的一个运算的集,叫做群;如果此运算为加法,那么称此群为加群;如果此运算是交换的,即满足4+,那么这个群叫交换群或阿贝尔群(阿贝尔N.H.Abel(1802-1829) 挪威数学家)
(II)乘法公理:确定了一个映射(乘法运算)∙:R×R→R使得对于R 中任意二元 x,y 之序对 (x,y),有某元 x⋅y∈R 与之对应,称 x⋅y 为 x、y之积,并且满足以下条件:
1∙. 存在中性元 1∈R∖0 (乘法的中性元叫单位元) 使得 ∀x∈R,有x⋅1=1⋅x=x
2∙. 每个元 x∈R∖0 有元 x−1∈R∖0, 叫做 x 的逆元,满足x⋅x−1=x−1⋅x=1
3∙. 运算 ∙ 是结合的, 即 ∀x,y,z∈R 满足 x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅z
4∙. 运算 ∙ 是交换的,即 ∀x,y∈R 满足x⋅y=y⋅x
(I,II) 加法与乘法的联系: 乘法对加法有分配性,即 ∀x,y,z∈R, (x+y)⋅z=x⋅z+y⋅z 如果集合定义了满足上面所有公理的两个运算(加法乘法),就称此集是一个 代数域 或简称 域
(III) 序公理: R 的元素间有关系 ⩽, 即对 \mathbb{R} 的元素 x 与 y, 或满足 x\leqslant y, 或不满足,同时应满足一下四个条件:
0_\leqslant. \forall x \in\mathbb{R}(x\leqslant x)
1_\leqslant. (x\leqslant y)\land(y\leqslant x) \Rightarrow (x=y)
2_\leqslant. (x\leqslant y)\land(y\leqslant z) \Rightarrow (x\leqslant z)
3_\leqslant. \forall x \in\mathbb{R}\forall y \in\mathbb{R}(x\leqslant y)\lor(y\leqslant x)
\mathbb{R} 中的关系 \leqslant 叫做不等关系
如果某集合的某些元素之间满足公理 0_\leqslant,1_\leqslant,2_\leqslant 的关系,就称此集合为偏序集;如果又满足 3_\leqslant,即集合中任二元素可比较大小,则称此集合为线性序集
(I,III) \mathbb{R} 中的加法与序关系的联系: 如果 x,y,z 是 \mathbb{R} 的元素, 那么(x\leqslant y)\Rightarrow(x+z \leqslant y+z)
(II,III) \mathbb{R} 中的乘法与序关系的联系: 如果 x,y 是 \mathbb{R} 的元素, 那么(0\leqslant x)\land(0\leqslant y) \Rightarrow (0\leqslant x\cdot y)
(IV) 完备(连续)公理: 如果 X 与 Y 是 \mathbb{R} 的非空子集,且具有性质:对于任何 x\in X, y\in Y,有 x \leqslant y,那么,存在 c \in \mathbb{R} ,使对任何 x\in X, y \in Y 有 x \leqslant c \leqslant y