从现代观点来看,前面的函数定义还不能说是一个定义,因为它利用了与函数等价的概念:对应。这里将介绍怎样用集合论语言给出函数定义。
关系:由一些序对 (x,y) 组成的任一集,叫做一个关系 \mathcal{R}.
关系 \mathcal{R} 的定义域:构成 \mathcal{R} 的所有序对的第一个元素组成的集 X
关系 \mathcal{R} 的值域:构成 \mathcal{R} 的所有序对的第二个元素组成的集 Y
则有 \mathcal{R} \subset X \times Y, 如果 X \subset X',Y \subset Y' , 显然: \mathcal{R} \subset X \times Y \subset X'\times Y'
含有关系 \mathcal{R} 的定义域的集(即X'),叫做 \mathcal{R}的出发域,相应的, Y' 为关系 \mathcal{R} 的到达域
常把 (x,y)\in \mathcal{R} 写成 x\mathcal{R}y ,并说 x 与 y 用关系 \mathcal{R} 联系着。
如果 \mathcal{R} \subset X^2 , 就说关系 \mathcal{R} 在 X上给定。
例14:设一平面上的直线集为 X, 两条直线 a \subset X, b \subset X a平行于b,则有关系 a\mathcal{R}b,由平行几何性质,有:
等价关系:具有上面例14三条性质的任何关系 \mathcal{R},都叫等价关系,
例15:设 M 为一集合,而 X 为M的一切子集的全体,a,b为 M 的两个子集,X^2中的关系 \mathcal{R}定义为 a\mathcal{R}b := (a \subset b) , 则这个关系 \mathcal{R}具有性质:
偏序关系:一个集 X 的元素对之间的关系\mathcal{R},如果具有以上例15的三条性质,则称它是集 X 上的一个偏序关系
序关系:偏序关系如果还满足条件 \forall a \forall b((a\mathcal{R} b)\lor(b\mathcal{R} a)) ,即集 X 中的任二元素均能比较,则把关系 \mathcal{R} 叫做序关系
线性序集: 定义了序关系的集合X叫做线性序集
函数: 如果满足 (x\mathcal{R}y_1)\land(x\mathcal{R}y_2) \Rightarrow (y_1=y_2) , 就说关系 \mathcal{R} 是一个函数关系,即函数。
函数图像:设 \varGamma 是直积 X\times Y 的子集,它由一切形如 (x,f(x))的元素组成,因而 \varGamma := \{(x,y) \in X\times Y|y=f(x)\}.我们则称这个子集 \varGamma 是在原来意义下函数 f: X \rightarrow Y 的图像