====== 第一章 一些通用的数学概念及记号 ======
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===== \(\S1\) 逻辑符号 =====
==== 1. 关系与括号 ====
  * \( \lnot \) “非”;　\( \land \) “与”;　\( \lor \) “或”;　\( \Rightarrow \) “蕴含”;　\( \Leftrightarrow \) “等价”
==== 2. 关于证明的注记 ====
    * 典型的数学论断具有 \( A \Rightarrow B \) 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语
    * 证明中使用古典推证法则： \( A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B \)  A 真且 A 蕴含 B,则 B 也真
    * 排中律：\( (A \lor \lnot A) \) 始终成立
    * 逆否命题等价于原命题: \( \lnot(\lnot A) \Leftrightarrow A \)
==== 3. 某些专门记号====
    * 证明开始与结束: \(\blacktriangleleft\) 及 \(\blacktriangleright\)
    * 据定义等于： \( := \) 或 \( =: \) 其中两点放在被定义的对象一边，比如式子 \[ \int_{a}^{b} f(x)dx := \lim_{\lambda(P)\rightarrow 0} \sigma(f,P,\xi) \] 是用右端定义左端，而右端含义认为是已知的
==== 4. 最后的注记 ====
  * 我们并没有分析逻辑推导形式，也没涉及数理逻辑研究对象的深刻问题，但已可先建立（学习）数学分析。数学分析在实数理论逻辑合格之后的极限理论基础上才获得现代形式化的、含义明确的、为人所理解的形式。
===== $\S2$ 集与集的初等运算 =====
==== 1. 集合概念===
    * 朴素集合论,康托尔(G.Gantor 1845-1918)
    * 罗素(B.Russell)(1872-1970)悖论: 设 \(M\) 为一集合，\( P(M)\) 表示 “\(M\) 是不以自己作为元素的集”，考察集合  \(K=\{M|P(M)\} \) 将有 \(P(K)\) 不为真且 \(\lnot P(K)\) 也不为真，产生矛盾
    * 集合论公理体系
====2. 包含关系====
    * $x$ 是集合 $X$ 的元素记为： $ x \in X $ 或 $ X \ni x $ 不属于则为 $ x \notin X $ 
    * **存在量词**：<wrap em>$\exists$</wrap> “存在”或“找到”； **全称量词**：<wrap em>$\forall$</wrap> “任何的”或“对于任何的”。
    * $ \forall x((x\in A) \Leftrightarrow (x\in B)) $ 则集合 A 与 B 为等价的，简记为 $ A=B $ 
    * $B$ 包含 $A$： $ (A \subset B):=\forall x((x \in A)\Rightarrow(x \in B)) $
    * $ (A=B) \Leftrightarrow (A \subset B)\land(B \subset A) $
    * 集合 $M$ 的空子集：$ \varnothing = \{ x \in M| x \neq x \} $
====3. 最简单的集合运算====
    * $A,B$ 并集： \( A \cup B := \{x \in M|(x \in A)\lor (x \in B)\} \)
    * $A,B$ 交集： \( A \cap B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \in B)\} \)
    * $A,B$ 差集： \( A \setminus B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \notin B)\} \)
    * $A$ 在 $M$ 中的补集：\( C_M A \)
    * 德•摩根(De.Morgan 1806-1871)规则：\[ C_M(A \cup B) = C_M A \cap C_M B \] \[ C_M(A \cap B) = C_M A \cup C_M B \]
    * 集合的直积（笛卡尔积）：笛卡尔(Descartes 1596-1650) \[ X \times Y := \{(x,y)|(x \in X)\land(y \in Y)\} \] 其中 \((x,y)\) 为序对（其第一项是 \(X\) 的元素，第二项为 \(Y\) 中的元素。
    * 设序对 \(z=(x_1, x_2)\) 是集合 \(X_1,X_2\) 的直积 \( X_1 \times X_2 \) 中的元素，那么 \(x_1\) 叫做序对 \(z\) 的第一射影，记作 \(\textrm{pr}_1 z\) ; 而 \(x_2\) 叫做序对 \(z\) 的第二射影，记作 \( \textrm{pr}_2 z\)
===== $\S3$ 函数 =====
==== 1. 函数（映射）的概念 ====
    * 设有两集合 $X$ 与 $Y$, 如有规律 $f$, 对于每个元素 $x \in X $ ,都有一元素 $y \in Y $ 与之<wrap em>对应</wrap>，则说有一个定义在 $X$ 上而在 $Y$ 中取值的**函数**
    * 通常也叫 //映射、变换、射、算子、泛函// 
    * 记为 $ f: X \rightarrow Y $ 或 $ X \xrightarrow{f} Y. $ 或  $ y=f(x) $
    * 函数的值集（值域）： $$ f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\} $$
    * 概念：函数的**出发域**、函数的**到达域**
    * 例1：球体积公式 $ V= \frac{4}{3}\pi r^3 $ 为在正实数集 $ \mathbb{R}_+ $ 上的函数 $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $
    * 例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： \[ \begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases} \] 为映射 $ G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $ \mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x $
    * 例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: \[ \begin{cases} x'= \displaystyle\frac{x-vt}{ \displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\displaystyle\frac{v}{c^2})x}{\displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases} \] 其中 $c$ 为光速，变换 $ L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $。
    * 例7：**泛函**：定义在函数上的函数。
    * 例10：$n$质点系的构形空间
    * 例12：$n$质点系的相空间
==== 2. 映射的简单分类 ====
  * 原像(全原像)、满射、单射、双射(一一映射)。
==== 3. 函数的复合与互逆映射 ====
    * 若有两映射 $ f: X \rightarrow Y $ 与 $ g: Y \rightarrow Z $, 且 $g$ 定义在 $f$ 的值域上，则可用公式 $$ (g \circ f) := g(f(x)) $$ 确定 $X$ 上的新映射 $$ g \circ f : X \rightarrow Z $$ 此映射 $g \circ f $ 叫做映射 f 与 映射 g 的**复合映射**
    * 复合映射满足结合律： $ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $
    * $ f^n := f_n \circ … \circ f_1 $  例子： 正数 $a$ 的平方根可按公式 $$ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + frac{a}{x_n}) $$ 用逐次逼近法来进行近似计算，前一步得到的值作为后一步的自变量值的计算方法叫做**迭代法**
    * 显然不满足交换律：$ g \circ f \neq f \circ g $
    * **恒等映射**： 若映射$ f: X \rightarrow X $ 把 $X$ 的每个元映成自身, 那么把 $f$ 记做 $e_X$, 并称为恒等映射
    * 引理：$$ (g \circ f = e_X) \Rightarrow (g是满射)\land(f是单射) $$
    * 命题：映射 $ f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X $ 是互逆的双射当且仅当 $g \circ f = e_X$ 且 $f \circ g = e_Y $
==== 4. 作为关系的函数.函数的图像 ====
    * 从现代观点来看，前面的函数定义还不能说是一个定义，因为它利用了与函数等价的概念：<wrap em>对应</wrap>。这里将介绍怎样**用集合论语言给出函数定义**。
    * **关系**：由一些序对$ (x,y) $组成的任一集，叫做一个关系 $\mathcal{R}$.
      * 关系 $\mathcal{R}$ 的**定义域**：构成 $\mathcal{R}$ 的所有序对的第一个元素组成的集 $X$
      * 关系 $\mathcal{R}$ 的**值域**：构成 $\mathcal{R}$ 的所有序对的第二个元素组成的集 $Y$
      * 则有 $\mathcal{R} \subset X \times Y$, 如果 $ X \subset X',Y \subset Y' $, 显然: $\mathcal{R} \subset X \times Y \subset X'\times Y' $
      * 含有关系 $\mathcal{R}$ 的定义域的集(即$X'$)，叫做 $\mathcal{R}$的**出发域**,相应的， $Y'$ 为关系 $\mathcal{R}$ 的**到达域**
      * 常把 $ (x,y)\in \mathcal{R} $ 写成 $ x\mathcal{R}y $,并说 $x$ 与 $y$ 用关系 $\mathcal{R}$ 联系着。
      * 如果 $ \mathcal{R} \subset X^2 $, 就说关系 $\mathcal{R}$ 在 $X$上给定。
    * 例14：设一平面上的直线集为 $X$, 两条直线 $a \subset X, b \subset X $ a平行于b,则有关系 $a\mathcal{R}b$,由平行几何性质，有：
      * 反身性：$a\mathcal{R}a$
      * 对称性：$(a\mathcal{R}b) \Rightarrow (b\mathcal{R}a) $
      * 传递性：$(a\mathcal{R}b) \land (b\mathcal{R}c) \Rightarrow (a\mathcal{R}c) $
    * **等价关系**：具有上面例14三条性质的任何关系 $\mathcal{R}$,都叫等价关系，
      * 等价关系用专用符号 $\thicksim$ 表示，$ a\thicksim b $ 即 $a$ 与 $b$ 等价。
    * 例15：设 $M$ 为一集合，而 $X$ 为$M$的一切子集的全体，$a,b$为 $M$ 的两个子集，$X^2$中的关系 $\mathcal{R}$定义为 $a\mathcal{R}b := (a \subset b) $, 则这个关系 $\mathcal{R}$具有性质：
      * 反身性：$a\mathcal{R}a$
      * 传递性：$(a\mathcal{R}b)\land(b\mathcal{R}c) \Rightarrow (a\mathcal{R}c) $
      * 反对称性: $(a\mathcal{R}b)\land(b\mathcal{R}a) \Rightarrow a\Delta b $ 即 $ a=b $
    * **偏序关系**：一个集 $X$ 的元素对之间的关系$\mathcal{R}$,如果具有以上例15的三条性质，则称它是集 $X$ 上的一个偏序关系
      * 偏序关系可用记号 $a\preccurlyeq b$ 来替代$a\mathcal{R}b$, 并说 $b$ 在 $a$ 之后。
    * **序关系**：偏序关系如果还满足条件 \( \forall a \forall b((a\mathcal{R} b)\lor(b\mathcal{R} a)) \),即集 \( X \) 中的任二元素均能比较，则把关系 \( \mathcal{R}\) 叫做序关系
    * **线性序集**: 定义了序关系的集合$X$叫做线性序集
      * 在实数轴上，任何一对实数都能讨论 $\preccurlyeq$ 关系。
    * <wrap em>函数</wrap>： 如果满足 $ (x\mathcal{R}y_1)\land(x\mathcal{R}y_2) \Rightarrow (y_1=y_2) $， 就说关系 $\mathcal{R}$ 是一个函数关系，即**函数**。
      * 常用符号$f$来表示函数，书写为 $ y=f(x) $ 或 $ x \xrightarrow{f} y. $
    * **函数图像**：设 $\varGamma$ 是直积 $ X\times Y$ 的子集，它由一切形如 $(x,f(x))$的元素组成，因而 \[ \varGamma := \{(x,y) \in X\times Y|y=f(x)\}\].我们则称这个子集 $\varGamma$ 是在原来意义下函数 $ f: X \rightarrow Y $ 的**图像**

===== \(\S4\) 某些补充 =====
==== 1. 集的势(基数) ====
  * **等势**： 设 \(X,Y\) 为两集合，如果存在 \(X\) 到 \(Y\) 的双射，即每个 \( x\in X\) ,有不同的 \( y \in Y \) 与之对应，并且每个 \(y\) 必是 \(X\) 中某元素的对应元素，则称 \(X\) 与 \(Y\) 等势
  * 集的**类**：等势的 \(X,Y\) 显然是等价关系，即 \(X \thicksim Y\),彼此等价的集合有相同数量的元素（等势), 彼此等价的集合构成一个**类**，不同类中的集合所含元素数量不同。势这个概念意义在于方便比较集合元素数量。
  * **势/基数**：集 \(X\) 所在的**类**叫集 \(X\) 的势，或叫 \(X\) 的基数， 记作 \(\textrm{card}X\)，方便比较集合元素数量.等势力记作 \( \textrm{card } X = \textrm{card }Y \)
  * 如果集合 \(X\) 与集合 \(Y\) 的某个子集等势，则有 \( \textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y \), 即 \[ (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y):=(\exists Z \subset Y|\textrm{card }X = \textrm{card }Z) \]
  * 如果 \(X \subset Y\),则显然有 \(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y\) .然而\(X \subset Y\) 也可能有 \(\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }X\).
    * 例如 对应 \(x \mapsto \frac{x}{1-|x|} \) 是数轴 \(\mathbb R\) 的开区间 \( -1 < x < 1 \) 到整个数轴的双射。
    * 一集合能与其自己的部分等势，是这个集合为无穷集的特征标志。不与任何真子集等势则叫有穷集。
  * 集合势的不等关系有下列性质：
    - \( (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y ) \land (\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }Z) \Rightarrow (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Z) \) (显然）
    - \( (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y ) \land (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y) \Rightarrow (\textrm{card }X = \textrm{card }Y) \)(施略德-伯恩斯坦定理）
    - \( \forall X \forall Y(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y) \lor (\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }X) \)(康托尔定理）
  * 因此基数类是有线性序的。
  * \(X\)的势小于\(Y\)的势的定义：\[ (\textrm{card }X < \textrm{card }Y) := (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y)\land(\textrm{card }X \neq \textrm{card }Y) \] 
  * 用 \(\varnothing\) 记空集，用 \( \mathcal{P}(X) \)记 \(X\) 的一切子集构成的集，康托尔发现以下定理:\[ \textrm{card }X < \textrm{card }\mathcal{P}(X)\]
    * 证明开始\(\blacktriangleleft\)：对于 空集 \(\varnothing\) 显然成立。非 \(\varnothing\) 时， \(\mathcal{P}(X)\) 含有 \(X\) 的一切单元素子集，所以 \(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }\mathcal{P}(X) \);
    * 假设 \( \textrm{card }X = \textrm{card }\mathcal{P}(X) \), 则存在双射 \(f: X \to \mathcal{P}(X) \). 考虑集合\( A = \{ x \in X|x \notin f(x)\}\)
    * \( (A \in \mathcal{P}(X)) \Rightarrow \exists (a\in X) \land (f(a) = A) \), 此时这个元素 \(a\) 既不能有 \(a \in A\) 又不能有 \(a \notin A\), 与排中律矛盾
    *  所以 \(\textrm{card }X \neq \textrm{card }\mathcal{P}(X) \)
    * \(\blacktriangleright\)证明结束
  * 特别地，这个定理说明，如果无穷集存在，那么“无穷”与“无穷”也是有势的区别的。
==== 2. 公理化集合论 ====
  - **容积公理** 集合 \(A\) 和集合 \(B\) 相等，当且仅当它们有共同的元素
  - **分出公理** 对任何集合 \(A\) 及性质 \(P\), 有这样的集 \(B\), 它所含的元素，是且仅是 \(A\) 中的那些具有性质 \(P\) 的元素
    * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 \(\varnothing_X = \{ x \in X| x \neq x \} \),再根据容积公理，推论空集是唯一的，记作符号 \(  \varnothing \) 
  - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 \(M\), 存在集合 \(\cup M\), 成为集合 \(M\) 的并， 它的元素恰好是 \(M\) 中所含元素的元素。
    * 由并公理及分出公理，可定义集 \(M\) 的**交**为集合 \[ \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \]
  - **对公理** 对于任意集合 \(X,Y\), 存在一个集合 \(Z\), 使 \(X\) 与 \(Y\) 是它仅有的元素。
    * \(Z\) 即 \(X\) 与 \(Y\) 的无序对。
  - **子集之集的公理** 对于任意集合 \(X\), 存在集合 \(\mathcal{P}(X)\), 它的元素恰好就是 \(X\) 的一切子集
    * 由此公理，可定义 \(X \times Y\)的直积： \[X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}\]
    * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论
  - **无穷公理** 归纳集存在
    * 集合 \(X\) 的后续集 \(X^+\) 定义: \(X^+ = X \cup \{X\}\) ;就是在 \(X\)上添加一个单元素集 \(\{X\}\);
    * **归纳集**：如果一个集合包含空集以及其中任何一个集的后续集，则称为归纳集
    * 根据无穷公理与公理1.~4.，可建立**自然数集** \(\mathbb{N}_0\) 的标准模型：定义为一切归纳集的交，即最小归纳集。 \(\mathbb{N}_0\)的元素为集合\[\varnothing,\quad \varnothing^+ = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\},\quad \{\varnothing\}^+ =  \{\varnothing\} \cup \{\{\varnothing\}\},\quad \dots,\]它们就是我们用符号 \(0,1,2,\dots\) 表示并称之为自然数的那些东西的模型
  - **置换公理** 设 \(\mathcal{F}(x,y)\) 是这样的一个命题，使得对于集 \(X\) 中的任何 \(x_0\),存在唯一的对象 \(y_0\), 使得 \(\mathcal{F}(x_0,y_0)\)成立，这时，存在 \(x\in X\), 使得 \(\mathcal{F}(x,y)\) 成立的那些 \(y\) 能组成集合。
    * 此公理在建立分析学时并没有使用
    * 公理1.~7.组成了集合论公理系统，即著名的**策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel)公理系统**
  - **选择公理** 对于任意不空集的族，存在一集合 \(C\),使对所给族中的每个集合 \(X\), 集合 \(X\cap C\) 恰好只含一个元素
    * 换句话说，恰好可从族中的每个集中选出一个代表，由它们组成集合\(C\)
    * 此公理（即数学中著名的梅策洛公理）与公理1.~7.独立，在数学分析中经常用到。  
==== 3. 数学命题的逻辑结构与写法 ====
  * 优先级：\(\in,=\) 最优先； \(\exists,\forall\) 其次； \(\lnot,\land,\lor,\Rightarrow\) 最后。
  * \(\mathbb{R}\) 表示实数集
  * 含有量词的命题的否定：\[\lnot \exists xP(x) \Leftrightarrow \forall x\lnot P(x) \] \[\lnot \forall xP(x) \Leftrightarrow \exists x\lnot P(x) \]